Question

15．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（1）=1，则不等式f（x）＜e^x-1的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-1}}$（x∈R），
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x-1}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵f（x）＜e^x-1，f（1）=1，
∴g（x）＜g（1）
∴x＞1，
∴不等式f（x）＜e^x-1的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．