Question

7．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a$＞\frac{1}{2}$），其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．
（Ⅱ）根据函数单调性结合函数零点的判断条件进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=[ax²+（2a+1）x+3]e^x，
因为f（x）在[-2，2]上是单调增函数，所以x∈[-2，2]时，f'（x）≥0恒成立．
令g（x）=ax²+（2a+1）x+3，对称轴$x=-1-\frac{1}{2a}$，
因为$a＞\frac{1}{2}$，所以$-2＜-1-\frac{1}{2a}＜0$，
要使x∈[-2，2]时，f'（x）≥0恒成立，即g（x）≥0时恒成立，
所以△=（2a+1）²-12a≤0恒成立，解得$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所
以$\frac{1}{2}＜a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（4分）
（Ⅱ）因为a=1，设h（x）=（x²+x+2）e^x-x-4，则h'（x）=（x²+3x+3）e^x-1，
令ϕ（x）=（x²+3x+3）e^x-1，则ϕ'（x）=（x²+5x+6）e^x，
令ϕ'（x）=0，解得x=-2，-3
当ϕ'（x）＞0时，x＜-3或x＞-2，ϕ（x）是增函数，
当ϕ'（x）＜0时，-3＜x＜-2，ϕ（x）是减函数．
所以x=-3是极大值点，x=-2是极小值点，
ϕ（x）的极大值为$ϕ（-3）=\frac{3}{e^2}-1＜0$，极小值为$ϕ（-2）=\frac{1}{e^2}-1＜0$．（8分）
因为$ϕ（-1）=\frac{1}{e}-1＜0$，ϕ（0）=2＞0．
所以存在x₀∈（-1，0），当x∈（-∞，x₀）时，ϕ（x）＜0，x∈（x₀，+∞）时，ϕ（x）＞0，
所以h（x）在（-∞，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
又$h（-4）=\frac{14}{e^4}＞0$，$h（-3）=\frac{8}{e^3}-1＜0$，h（0）=-2＜0，h（1）=4e-5＞0，
由零点存在定理，可知h（x）=0的根x₁∈（-4，-3），x₂∈（0，1），即t=-4，0（12分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．