Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2×3ⁿ+

2

3n-1

，m、n、p属于自然数，且m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p为等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，代入化简可得2×3ⁿ-3^m-3^p=

1

3m-1

+

1

3p-1

+

1

3n-1

，根据左边是整数，右边是分数，即可得出结论．

解答： 解：若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，
所以2（2×3ⁿ+

2

3n-1

）=2×3^m+

2

3m-1

+2×3^p+

2

3p-1

，
化简得2×3ⁿ-3^m-3^p=

1

3m-1

+

1

3p-1

+

1

3n-1

，
因为左边是整数，右边是分数，
故数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了数列与函数的思想、数学归难的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．