Question

10．已知函数f（x）=（x²-2mx+m²）lnx无极值点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$-2{e}^{-\frac{3}{2}}$）
• B． （-∞，1]
• C． （-2，0）∪（0，1]
• D． （-∞，$-2{e}^{-\frac{3}{2}}$]∪{1}

Answer 1

分析 函数f（x）=（x²-2mx+m²）lnx（x＞0），f′（x）=（2x-2m）lnx+（x-2m+$\frac{{m}^{2}}{x}$）=$\frac{x-m}{x}$（2xlnx+x-m）．当x＞1且x＞m时，即x＞max（1，m）时，f′（x）＞0，可得函数f（x）单调递增，满足函数f（x）取极值．对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

解答 解：函数f（x）=（x²-2mx+m²）lnx（x＞0），f′（x）=（2x-2m）lnx+（x-2m+$\frac{{m}^{2}}{x}$）=$\frac{x-m}{x}$（2xlnx+x-m）．
当x＞1且x＞m时，即x＞max（1，m）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增，满足函数f（x）无极值．
①m＞1时，只要求x∈（0，m）时，f′（x）≥0即可，只需2xlnx+2x-m≤0即可．∴m≥2x+2xlnx，
令g（x）=x+2xlnx，g′（x）=3+2lnx，可得函数g（x）的图象：
∴m＞g（m）=m+2mlnm，解得：m＜1，舍去．
②m=1时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，即1≥g（x）．
而g（x）_max=g（1）=1，成立，即m=1满足条件．
③当0＜m＜1时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，∴m≥g（x）_max=g（1）=1，不符合题意，舍去．
④当m≤0时，只要求x∈（0，1）时，f′（x）≥0即可，∴m≤g（x）_min=$g（{e}^{-\frac{3}{2}}）$=-2${e}^{-\frac{3}{2}}$，即m≤-2${e}^{-\frac{3}{2}}$．
综上可得：m的取值范围是$（-∞，-2{e}^{-\frac{3}{2}}]$∪{1}．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．