Question

13．已知$\overrightarrow{AB}=（{1，2}），\overrightarrow{AC}=（{4，3}）$，动点P满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为5．

Answer 1

分析 根据条件可以求出$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{AC}|=5，sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{1}{\sqrt{5}}$，可分别以线段AB，AC所在直线为λ轴，μ轴，建立坐标系，然后以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$为一组基底，可得到P（λ，μ），根据条件λ，μ≥0时便有0≤λ+μ≤1，这样便可得到对应的P点所在区域为△ABC及其内部，并可求出S_△ABC，而λ，μ≤0，-1≤λ+μ≤0时便可得到对应的点P所在区域面积等于S_△ABC，这样即可求出点P所在平面区域的面积．

解答 解：$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{AC}|=5$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=10$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{10}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$；
∴$sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞=\frac{1}{\sqrt{5}}$；
如图，分别以边AB，AC所在的直线为λ轴，μ轴建立如图所示坐标系：

以向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$为一组基底，则P点的坐标为P（λ，μ）；
若λ≥0，μ≥0，则0≤λ+μ≤1，对应的P点所在区域为图中阴影部分所示；
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×5×\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{2}$；
同理，λ≤0，μ≤0时，-1≤λ+μ≤0，此时点P所在区域面积应等于$\frac{5}{2}$；
∴点P所在平面区域的面积为5．
故答案为：5．

点评 考查根据向量的坐标求向量的长度，向量坐标的数量积的运算，向量夹角余弦的计算公式，以及向量坐标的定义，能找出不等式所表示的平面区域，三角形的面积公式．