Question

已知函数f(x)=a^x+ (a>1). 

(1)证明:函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

Answer 1

证明略

解析:

(1）设－1＜x₁＜x₂＜+∞,则x₂－x₁>0, >1且>0,

∴>0,又x₁+1>0,x₂+1>0

∴>0,

于是f(x₂)－f(x₁)=+ >0

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数. 

(2）证法一:设存在x₀＜0(x₀≠－1)满足f(x₀)=0,

则且由0＜＜1得0＜－＜1,

即＜x₀＜2与x₀＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.

证法二: 设存在x₀＜0(x₀≠－1)使f(x₀)=0,若－1＜x₀＜0,

则＜－2,＜1,∴f(x₀)＜－1与f(x₀)=0矛盾，

若x₀＜－1,则>0, >0，

∴f(x₀)>0与f(x₀)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.