Question

16．已知函数f（x）=2x³-12x²+18x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）求函数f（x）在[-1，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=6x²-24x+18=6（x²-4x+3），利用导数性质能示求出函数f（x）的单调区间．
（2）x、f′（x）、f（x）的取值变化情况列表讨论，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[-1，4]上的最值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵f（x）=2x³-12x²+18x+1，
∴f′（x）=6x²-24x+18=6（x²-4x+3），
令f′（x）＞0，得x＞3或x＜1，
令f′（x）＜0，得1＜x＜3，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1）（3，+∞），单调减区间为（1，3）．…（6分）
（2）x、f′（x）、f（x）的取值变化情况如下表

x	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-31	增	极大值	减	极小值	增	9

f（1）=9，f（3）=1，
由上表可知，函数f（x）在[-1，4]上的最大值9，最小值-31．…（12分）

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．