Question

已知数列{x_n}，{y_n}满足：x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且

xn+1

xn

=λ•

xn

xn-1

，

yn+1

yn

≥λ•

yn

yn-1

（λ为非零参数，n=2，3，4…）
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明：

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

(n∈N*)；
（3）当λ＞1时，证明：

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

＜

λ

λ-1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：证明题,综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）依题意，

x3

x2

=λ

x2

x1

，把x₁=x₂=1代入可求得x₃=λ，同理可求x₄=λ³，x₅=λ⁶，利用等比中项的性质即可求得参数λ的值；
（2）当λ＞0时，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥법

yn-1

yn-2

≥…≥λ^n-1•

y2

y1

=λ^n-1，同理可求

xn+1

xn

=λ^n-1，进而可使结论得证；
（3）当λ＞1时，可求得

yn+1-xn+1

xn+1

≥

yn-xn

xn

，整理可得

yn+1-xn+1

yn-xn

≥

xn+1

xn

，代入所证关系式，即可证得结论成立．

解答： 解：（1）n=2时，

x3

x2

=λ

x2

x1

，把x₁=x₂=1代入得x₃=λ，
同理可得x₄=λ³，x₅=λ⁶，
∵x₁，x₃，x₅成等比数列，
∴x32=x₁•x₅，即λ²=λ⁶，
又λ≠0，
∴λ=±1；
（2）∵λ＞0，x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，
∴x_n＞0，y_n＞0，
由不等式的性质得，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥법

yn-1

yn-2

≥…≥λ^n-1•

y2

y1

=λ^n-1，
同理可得

xn+1

xn

=λ^n-1，
∴

yn+1

yn

≥λ^n-1=

xn+1

xn

，
∴

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）；
（3）当λ＞1时，由（1）知y_n＞x_n≥1（n∈N^*），
由（2）知

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）；
∴

yn+1-xn+1

xn+1

≥

yn-xn

xn

，
∴

yn+1-xn+1

yn-xn

≥

xn+1

xn

（n∈N^*）；
∴

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

≤

1

λ0

+

1

λ

+

1

λ2

+…+

1

λn-1

=

1-( 1 λ )n

1- 1 λ

＜

λ

λ-1

．

点评：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证．