Question

在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足e^v=（1+

M

m

）²⁰⁰⁰．（e为自然对数的底）
（Ⅰ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s）；
（Ⅱ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s．（结果精确到个位，数据：e≈2.718，e⁴≈54.598，ln3≈1.099））

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据指数式与对数式的互化，表示出最大速度v的解析式，根据题意M=2m，代入求解即可得到答案；
（Ⅱ）根据题意，列出

M

m

=e

v

2000

-1，再根据最大速度为8km/s，代入即可求得

M

m

的值，从而求得答案．

解答： （Ⅰ）∵e^v=（1+

M

m

）²⁰⁰⁰，
∴v=ln（1+

M

m

）²⁰⁰⁰=2000ln（1+

M

m

），
∵当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，即M=2m，
∴v=2000ln3≈2000×1.099=2198（m/s）；
答：当燃料质量M为火箭质量m两倍时，火箭的最大速度为2198m/s．
（Ⅱ）∵e^v=（1+

M

m

）²⁰⁰⁰，
∴

M

m

=e

v

2000

-1，
∴

M

m

=e

8000

2000

-1=e⁴-1≈54，598-1≈54，
答：当燃料质量M为火箭质量m的54倍时，火箭最大速度可以达到8km/s．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查了对数式与指数式的互化，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．同时考查了运算能力．属于中档题．