Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F₂且垂直于长轴的弦长为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点F₁作直线l，交椭圆于P，Q两点，若，求直线l的倾斜角．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题：

圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（1）设椭圆的标准方程为．右焦点F₂（c，0），把x=c代入椭圆方程得，解得．可得．利用离心率计算公式及a，b，c的关系可得，解出即可．

（2）设直线l与椭圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．分当直线l的斜率为0和不为时讨论，斜率不为0时设直线l的方程为my=x+1，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用数量积，即可得出．直线l的斜率为0时比较简单．

解答：

解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为．

右焦点F₂（c，0），把x=c代入椭圆方程得，解得．

∴．

联立，解得．

∴椭圆的标准方程为．

（2）设直线l与椭圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．

①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my=x+1．

联立，得（2+m²）y²﹣2my﹣1=0．

∴，．

∵2==（x₁﹣1，y₁）•（x₂﹣1，y₂）=（my₁﹣2，y₁）•（my₂﹣2，y₂）=（m²+1）y₁y₂﹣2m（y₁+y₂）+4，

∴2=，

化为m²=1，解得m=±1，

∴直线l的斜率k==±1．

设直线的倾斜角为α，则tanα=±1．

∴或．

②当直线l的斜率为0时，P，Q．

==﹣1≠2，不符合题意，应舍去．

综上可知：直线l的倾斜角α为或．

点评：

本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．