试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,讨论
的正负来求单调性,利用导数大于0或小于0,通过解不等式来求函数的单调性;第二问,讨论
方程的根与已知区间的关系,先判断函数的单调性,再求最值,列出方程解出
的值;第三问,证明“
”两边的两个函数的最值,来证明大小关系.
试题解析:(1)
1分
当
时,
恒成立,故
的单调增区间为
3分
当
时,令
解得
,令
解得
,故
的单调增区间为
,
的单调减区间为
5分
(2)由(I)知,
①当
,即
时,
在
上单调递增,∴
舍; 7分
②当
,即
时,
在
上递增,在
上递减,
,令
,得
9分
(Ⅲ)即要证明
, 10分
由(Ⅰ)知当
时,
,∴
, 11分
又令
,
, 12分
故
在
上单调递增,在
上单调递减, 13分
故
14分
即证明
.