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已知函数,其中为常数,为自然对数的底数.
(1)求的单调区间;
(2)若,且在区间上的最大值为,求的值;
(3)当时,试证明:.
(1)单调增区间为,单调减区间为;(2);(3)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,讨论的正负来求单调性,利用导数大于0或小于0,通过解不等式来求函数的单调性;第二问,讨论方程的根与已知区间的关系,先判断函数的单调性,再求最值,列出方程解出的值;第三问,证明“”两边的两个函数的最值,来证明大小关系.
试题解析:(1)                 1分
时,恒成立,故的单调增区间为      3分
时,令解得,令解得,故的单调增区间为的单调减区间为             5分
(2)由(I)知,
①当,即时,上单调递增,∴舍;   7分
②当,即时,上递增,在上递减,
,令,得       9分
(Ⅲ)即要证明,                     10分
由(Ⅰ)知当时,,∴,        11分
又令,                  12分
上单调递增,在上单调递减,             13分
                         14分
即证明.
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