Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，求下列条件下数列的通项公式a_n．
（1）Sn=2•5n-2；
（2）a₁=2，a_n+1=a_n+3n+2；
（3）a₁=1，an=

n-1

n

an-1(n≥2)；    
（4）a₁=1，a_n+1=3a_n+2．

Answer 1

分析：（1）在递推式中取n=1可求首项，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1化简整理可求a_n，然后验证n=1时是否成立，若不成立，则通项公式要分写；
（2）由给出的递推式，采用累加法求数列的通项公式；
（3）根据给出的递推式，可采用累积法求数列的通项公式；
（4）把给出的递推式配方，然后构造出一个新数列{a_n+1}，该数列是等比数列，求出a_n+1后即可得到a_n．

解答：解：（1）由Sn=2•5n-2．
当n=1时，a₁=S₁=2×5-2=8，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2•5n-2)-(2•5n-1-2)=8•5^n-1．
当n=1时此式成立，
所以an=8•5n-1；
（2）由a_n+1=a_n+3n+2．
则a_n+1-a_n=3n+2，a_n-a_n-1=3n-1（n≥2）．
又a₁=1，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（3n-1）+[3（n-1）-1]+[3（n-2）-1]+…+（3×2-1）+1
=3（2+3+4+…+n）-（n-1）+1=3×

(2+n)(n-1)

2

-n+2=

3n2+n-2

2

；
（3）由an=

n-1

n

an-1(n≥2)，且a₁=1≠0，
∴

an

an-1

=

n-1

n

（n≥2），
则an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=

n-1

n

•

n-2

n-1

…

1

2

•1=

1

n

；
（4）由a_n+1=3a_n+2，得：a_n+1+1=3（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=1+1=2≠0，
则

an+1+1

an+1

=3．
所以，数列{a_n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
则an+1=2•3n-1，
所以，an=2•3n-1-1．

点评：本题考查了由数列的前n项和及递推式求数列的通项公式，这是求数列通项公式常见的题型，由前n项和求通项时，一定要注意分类讨论；对于递推式是a_n+1=a_n+f（n）型的，常采用累加法求通项公式；是a_n+1=a_nf（n）型的递推式，常采用累积法，而a_n+1=pa_n+q型的递推式，一定是构造出一个新的等比数列．此题是中档题．