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    已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0，且f(2)＝1

    (1)求证：f(x)是偶函数；

    (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

    (3)解不等式f(2x2－1)＜2

    答案：
    解析：

    　　解：(1)因对定义域内的任意x1﹑x2都有

    　　f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

    　　又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．

    　　再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0，

    　　于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．4分

    　　(2)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f()]＝－f()．

    　　由于0＜x1＜x2，所以＞1，从而f()＞0，

    　　故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

    　　所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．8分

    　　(3)由于f(2)＝1，所以2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)，

    　　于是待解不等式可化为f(2x2－1)＜f(4)，

    　　结合(1)(2)已证的结论，可得上式等价于|2x2－1|＜4，

    　　解得{x|－＜x＜，且x≠0}．12分


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+
    a-3
    2
    x2+(a2-3a)x-2a    ．
    （I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
    （II）设函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2判断下列三个代数式：①x1+x2+a，②
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    +a2    ，③
    x
    3
    1
    +
    x
    3
    2
    +a3
    中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    问题1：已知函数f(x)=
    x
    1+x
    ，则f(
    1
    10
    )+f(
    1
    9
    )+    …+f(
    1
    2
    )+f(1)+f(2)+    …+f（9）+f（10）=
    19
    2
    19
    2
    ．
    我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
    1
    2
    )+f(2)    、…、f(
    1
    9
    )+f(9)    、f(
    1
    10
    )+f(10)    可一般表示为f(
    1
    x
    )+f(x)    =
    1
    x
    1+
    1
    x
    +
    x
    1+x
    =
    1
    1+x
    +
    x
    1+x
    =
    1+x
    1+x
    =1    为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
    问题2：已知函数f(x)=
    1
    2x+
    		2
    ，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P是M，N的中点．
    （1）求证：y1+y2为定值；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    （n∈N*，n≥2），求
    lim
    n→∞
    4Sn-9Sn
    4Sn+1+9Sn+1
    的值；
    （3）在（2）的条件下，若an=
    1
    6
    ，n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    （n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x+1-a
    a-x
    (x≠a)
    （1）当f（x）的定义域为[a+
    1
    2
    ，a+1]    时，求f（x）的值域；
    （2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
    （3）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
    1
    2
    ≤a≤
    3
    2
    ，求g（x）的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2
    		2
    x
    1-x
    ，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
    （1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值；
    （2）设Tn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
    （3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )    …(1-
    1
    an
    )＜
    sinα
    		2n+1
    对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

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