Question

已知函数f（x）=x+

a

x

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若a＞0，证明：函数f（x）在[

a

，+∞）内是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明：函数f（x）在[

a

，+∞）内是增函数．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x₂＞x₁＞

a

，则f（x₂）-f（x₁）=x₂+

a

x2

-x₁-

a

x1

=（x₂-x₁）•

x1x2-a

x1x2

∵x₂＞x₁＞

a

，∴x₂-x₁＞0，x₂x₁＞a，
∴x₂x₁-a＞0，
则f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
即函数f（x）在[

a

，+∞）内是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，根据相应的定义是解决本题的关键．