Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log4（a2x﹣ a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数

∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（ ）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立

∴﹣（k+1）=k，则k=

（2）解：g（x）=log4（a2x﹣ a），

函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即

方程f（x）=g（x）只有一个解

由已知得log4（4x+1） x=log4（a2x﹣ a），

∴log4（ ）=log4（a2x﹣ a），

方程等价于 ，

设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣ ﹣1=0有一解

若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣ ﹣1，

∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解

∴a＞1满足题意

若a﹣1=0，即a=1时，h（t）=﹣ ﹣1，由h（t）=0，得t=﹣ ＜0，不满足题意

若a﹣1＜0，即a＜1时，由 ，得a=﹣3或a= ，

当a=﹣3时，t= 满足题意

当a= 时，t=﹣2（舍去）

综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}

【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．