Question

18．已知直线l过点（-1，0 ），当直线l与圆x²+y²=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）
• B． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
• D． （$-\sqrt{2}，-\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=k（x+1），由直线l与圆x²+y²=2x有两个交点，得到圆心C（1，0）到直线l的距离d小于圆半径，由此能求出斜率k的取值范围．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，此时直线与圆没有交点，不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
∵直线l与圆x²+y²=2x有两个交点，
圆x²+y²=2x的圆心C（1，0），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4}$=1，
∴圆心C（1，0）到直线l的距离d=$\frac{|k-0+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜k＜\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴斜率k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查直线的斜率的取值范围的求法，涉及到直线方程、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．