Question

7．在正四棱锥P-ABCD中，所有的棱长均为2，则侧棱与底面ABCD所成的角和该四棱锥的体积分别为（　　）

• A． 45^°，$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• B． 30^°，$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• C． 60^°，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． 75^°，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 连结AC，过S作SO⊥底面ABCD，垂足为O，推导出AC=2$\sqrt{2}$，O是AC中点，SO=$\sqrt{2}$，从而∠SAO是侧棱与底面ABCD所成的角，由此能求出侧棱与底面ABCD所成的角和该四棱锥的体积．

解答 解：连结AC，过S作SO⊥底面ABCD，垂足为O，
∵在正四棱锥P-ABCD中，所有的棱长均为2，
∴AC=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，O是AC中点，SO=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴∠SAO是侧棱与底面ABCD所成的角，
∵SO=AO，且SO⊥AO，∴∠SAO=45°，
∴侧棱与底面ABCD所成的角为45°．
该四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方体ABCD}×SO$=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查线面角的大小和四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．