Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0），B（1，2），直线l与AB平行．
（1）求直线l的斜率；
（2）已知圆C：x²+y²-4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
（3）在（2）的圆C上是否存在点P，使得PA²+PB²=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A（-1，0），B（1，2），直线l与AB平行，利用斜率公式和直线与直线平行的性质能求出直线l的斜率．
（2）圆C的标准方程为：（x-2）²+y²=4，圆心C（2，0），半径为2，设直线l的方程为x-y-m=0，求出圆心C到直线l的距离d=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$，由MN=AB=2$\sqrt{2}$，求出m=0或m=-4，由此能求出直线l的方程．
（3）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x-2）²+y²=4，由PA²+PB²=（x+1）²+（y-0）²+（x-1）²+（y-2）²=12，得到x²+（y-1）²=4，从而求出圆（x-2）²+y²=4与圆x²+（y-1）²=4相交，由此能求出点P的个数．

解答 解：（1）∵点A（-1，0），B（1，2），直线l与AB平行，
∴直线l的斜率k=k_AB=$\frac{2-0}{1-（-1）}$=1．
（2）∵圆C：x²+y²-4x=0，∴圆C的标准方程为：（x-2）²+y²=4，圆心C（2，0），半径为2，
由（1）知直线l的斜率k=1，
设直线l的方程为x-y-m=0，
则圆心C到直线l的距离d=$\frac{|2-0+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$，
∵MN=AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
而CM²=${d}^{2}+（\frac{MN}{2}）^{2}$，∴4=$\frac{（2+m）^{2}}{2}$+2，
解得m=0或m=-4，
故直线l的方程为x-y=0或x-y+4=0．
（3）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x-2）²+y²=4，
PA²+PB²=（x+1）²+（y-0）²+（x-1）²+（y-2）²=12，
整理，得x²+y²-2y-3=0，即x²+（y-1）²=4，
∵|2-2|＜$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}$＜2+2，
∴圆（x-2）²+y²=4与圆x²+（y-1）²=4相交，
∴点P的个数为2．

点评 本题考查直线的斜率、直线方程、满足条件的点的个数的求法，涉及到斜率、直线、圆、直线与直线平行、点到直线距离公式、圆与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．