Question

设函数f(x)＝x³－ax²－ax，g(x)＝2x²＋4x＋c.
(1)试问函数f(x)能否在x＝－1时取得极值？说明理由；
(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

（1）无极值（2）－＜c＜或c＝－9.

(1)由题意f′(x)＝x²－2ax－a，
假设在x＝－1时f(x)取得极值，则有f′(－1)＝(－1)²－2a(－1)－a＝0，解得a＝－1.
而此时f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，所以函数f(x)在R上为增函数，函数无极值．
这与f(x)在x＝－1处有极值矛盾，所以f(x)在x＝－1处无极值．
(2)设f(x)＝g(x)，则有x³－ax²－ax＝2x²＋4x＋c，
所以c＝x³－x²－3x.
设F(x)＝x³－x²－3x，则F′(x)＝x²－2x－3，令F′(x)＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3.
当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如表所示：

x	－3	(－3，－1)	－1	(－1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		＋	0	－	0	＋
F(x)	－9	?	极大值	?	极小值	?	－

由表可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数，在[－1,3]上是减函数．
当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9，而F(－3)＝－9，F(4)＝－.
如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与y＝c有两个公共点，所以－＜c＜或c＝－9.