Question

在△ABC中，向量

m

=（sinC，-1），

n

=（cosA+cosB，sinA+sinB），若

m

⊥

n

，判别△ABC形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：由 

m

•

n

=0以及sinB=sin（A+C）求得sinA=sinCcosB-cosCsinA．再根据 sinA=sin（B+C），求得cosC（sinA+sinB）=0，可得 C=90°，△ABC为直角三角形．

解答： 解：由

m

⊥

n

，可得 

m

•

n

=sinC（cosA+cosB）+（-1）（sinA+sinB）=0，
即 sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB=sinA+sin（A+C）=sinA+sinAcosC+cosAsinC，
∴sinA=sinCcosB-cosCsinA，即 sin（B+C）=sinCcosB-cosCsinA，
即 sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-cosCsinA，∴cosC（sinA+sinB）=0．
由于sinA+sinB＞0，∴cosC=0，∴C=90°，∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦，求得cosC（sinB+sinA）=0是转化的关键，属于中档题．