Question

20．求函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$），x∈R取最大值，最小值的自变量x的集合．

Answer 1

分析 当3x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x，此时$sin（3x+\frac{π}{4}）$取得最大值1，此时函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）取得最小值；同理可得函数取得最大值时的x的集合．

解答 解：函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$），
当3x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}$（k∈Z）时，$sin（3x+\frac{π}{4}）$取得最大值1，∴函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$；
当3x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$-\frac{π}{4}$+2kπ（k∈Z）时，$sin（3x+\frac{π}{4}）$取得最小值-1，∴函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）取得最大值$\frac{1}{2}$．
∴当x∈$\{x|x=\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}，k∈Z\}$时，函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$；
当x∈$\{x|x=-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，k∈Z\}$时，函数y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）取得最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数取得最值时的集合，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．