Question

【题目】设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知T（t）=t3+at2+bt+c，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，规定中午12：00相应的t=0，中午12：00以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数（例如早上8：00对应的t=﹣4，下午16：00相应的t=4），若测得该物体在中午12：00的温度为60℃，在下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率．
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得，T′（t）=3t2+2at+b，当t=0时，T（t）=60；

当t=1时，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），

故有c=60，1+a+b+c=58，3（﹣4）2+2a（﹣4）+b=342+2a4+b，

解得a=0，b=﹣3，c=0，∴T（t）=t3 ﹣3t+60，（﹣12≤t≤12）

（2）解：该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点），即﹣2≤t≤2，T′（t）=3t2﹣3，

故当t∈[﹣2，﹣1）、（1，2]时，T′（t）=3t2﹣3＞0，函数单调递增；故当t∈[﹣1，1]时，T′（t）=3t2﹣3≤0，函数单调递减，

故当t=﹣1时，函数取得极大值为T（﹣1）=64，而区间[﹣2，2]的端点值T（﹣2）=58，T（2）=62，

故函数T（t）=t3+at2+bt+c在区间[﹣2，2]上的最大值为64，

故上午11点温度最高为64°

【解析】（1）由题意可得当t=0时，T（t）=60；当t=1时，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），由此求得待定系数a、b、c的值，可得函数的解析式．（2）利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最大值，从而得出结论．