Question

已知

a

，

b

是非零向量，它们之间有如下一种运算：

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，其中＜

a

，

b

＞表示

a

，

b

的夹角．给出下列命题：
①

a

?

b

=

b

?

a

；
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

；
③（

a

+

b

）?

c

=

a

?

c

+

b

?

c

；
④

a

⊥

b

?

a

?

b

=|

a

||

b

|；
⑤若

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），则

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中真命题的个数是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,命题的真假判断与应用

专题：新定义,平面向量及应用,简易逻辑

分析：利用新定义直接判断①②的正误；利用向量的运算判断③的正误；利用新定义判断④的正误；利用新定义化简求解判断⑤的正误；

解答：解：∵

a

，

b

是非零向量，它们之间有如下一种运算：

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，其中＜

a

，

b

＞表示

a

，

b

的夹角．
对于①，

a

?

b

=|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，

b

?

a

=|

b

||

a

|sin＜

b

，

a

＞，∴

a

?

b

=

b

?

a

，∴①正确；
对于②，λ（

a

?

b

）=λ|

a

||

b

|sin＜

a

，

b

＞，（λ

a

）?

b

=|λ

a

||

b

|sin＜λ

a

，

b

＞，λ≥0时相等，λ＜0时，两式不相等，∴②不正确；
对于③，（

a

+

b

）?

c

=

a

?

c

+

b

?

c

，满足加法对乘法的结合律，∴③正确；
对于④，

a

⊥

b

，∴sin＜

a

，

b

＞=1?

a

?

b

=|

a

||

b

|；∴④正确；
对于⑤，

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），则

a

?

b

=

x12+y12

•

x22+y22

sin＜

a

，

b

＞≠|x₁y₂-x₂y₁|．∴⑤不正确；
正确命题有3个．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假的判断，定义域的应用，考查分析问题解决问题的能力．