Question

14．设f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x，g（x）=log_ax（a＞0，a≠1），若h（x）=f（x）+g（x）（0，+∞）上增函数，且h′（x）存在零点．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，x₂）（x₁＜x₂）为y=g（x）的图象上的两点，且g′（x₀）=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，求证：x₀∈（x₁，x₂）

Answer 1

分析 （1）化简h（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+log_ax，求导h′（x）=$\frac{（lna{）x}^{2}-2（lna）x+1}{xlna}$，从而可得△=4ln²a-4lna=0，从而解得；
（2）求导g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，从而可得x₀=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，化简$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$-x₁=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{1}ln{x}_{2}+{x}_{1}ln{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，令r（x）=xlnx-xlnx₂+x₂-x，从而求导r′（x）=lnx+1-lnx₂-1=lnx-lnx₂，从而可证x₀-x₁＞0，从而证明．

解答 解：（1）∵h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+log_ax，
∴h′（x）=x-2+$\frac{1}{xlna}$=$\frac{（lna{）x}^{2}-2（lna）x+1}{xlna}$，
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，且h′（x）存在零点，
∴△=4ln²a-4lna=0，
解得，lna=1或lna=0；
故a=e或a=1（舍去）；
故a=e；
（2）证明：∵g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，
$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$-x₁=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{1}ln{x}_{2}+{x}_{1}ln{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$，
令r（x）=xlnx-xlnx₂+x₂-x，
r′（x）=lnx+1-lnx₂-1=lnx-lnx₂，
在（0，x₂]上，r′（x）＜0；
所以r（x）在（0，x₂]上是减函数，
当x₁＜x₂时，r（x₁）＞r（x₂）=0，
即x₂-x₁-x₁lnx₂+x₁lnx₁＞0，
故$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$-x₁＞0，
即x₀-x₁＞0，同理可证，x₂-x₀＞0，
故x₀∈（x₁，x₂）．

点评 本题考查了导数的综合综合应用及不等式的证明．