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如图所示,直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BCA=90°,CA=CB=1,AA'=2,M,N分别是A'B'、A'A的中点.
(1)求证:A'B⊥C'M;
(2)求异面直线BA'与CB'所成交的大小;
(3)(理)求BN与平面CNB'所称的角的大小;
(4)(理)求二面角A-BN-C的大小.

解:(1)以C为坐标原点,CB,CA,CC′分别为x轴,y轴,z轴,则B(1,0,0),


∴A'B⊥C'M;
(2)∵

∴异面直线BA'与CB'所成角为
(3)设BN与平面CNB'所成的角为α,平面CNB'的一个法向量为(x,y,z)


∴平面CNB'的一个法向量为(2,1,-1)


∴BN与平面CNB'所成的角为
(4)设平面NBC的一个法向量为(a,b,c ),二面角A-BN-C的大小为β


∴平面NBC的一个法向量为(0,1,-1)
∵平面ABN的一个法向量为(
,∴β=60°
∴二面角A-BN-C的大小为60°
分析:以C为坐标原点,CB,CA,CC′分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,从而可证线线垂直,可求线线角,线面角,二面角,注意法向量的求解方法.
点评:本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题,主要考查线线垂直,线面角、二面角等,关键是建立空间直角坐标系,利用向量的方法求解.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,D是侧棱CC1的中点.
(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值;
(3)求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记
AB
=
a
AC
=
b
AA
=
c
,则
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
(用
a
b
c
表示).

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BCA=90°,CA=CB=1,AA'=2,M,N分别是A'B'、A'A的中点.
(1)求证:A'B⊥C'M;
(2)求异面直线BA'与CB'所成交的大小;
(3)(理)求BN与平面CNB'所称的角的大小;
(4)(理)求二面角A-BN-C的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AA1=,点DAB的中点.

(1)求证:CD⊥平面ABB1A1

(2)求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

(3)求三棱锥B1A1BC的体积;

(4)求BC1与平面A1BC所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=a.

(1)求证:AB1∥平面BC1D;

(2)求异面直线AB1BC1所成的角;

(3)求点A到平面BC1D的距离.

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