Question

20．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB=$\sqrt{5}$，BC=CD=$\sqrt{2}$，AD=1．
（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；
（2）点E是线段AB的中点，求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值．
（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E-PC-D的大小．

解答 解：（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（0，0，0），
P（$\sqrt{2}，0，1$），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{5}$，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{2}，0，-1$），
设异面直线AB、PC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）E（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（$\sqrt{2}，0，1$），$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{2}，0$），
设平面PCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{\sqrt{5}}{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{5}}{2}，-2）$，
设平面PCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=\sqrt{2}a+c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}，0，-2$），
设二面角E-PC-D的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{\frac{29}{4}}•\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{174}}{29}$．
θ=arccos$\frac{2\sqrt{174}}{29}$．
∴二面角E-PC-D的大小为arccos$\frac{2\sqrt{174}}{29}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．