【题目】南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2 m,宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面,裁剪方法如下:分别在边AB,AD上取点E,F,将三角形AEF沿直线EF翻折到处,点落在牛皮纸上,沿,裁剪并展开,得到风筝面,如图1.
(1)若点E恰好与点B重合,且点在BD上,如图2,求风筝面的面积;
(2)当风筝面的面积为时,求点到AB距离的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)建立直角坐标系,求得直线的方程为,利用点F到AB与BD的距离相等列方程可得:,求得,问题得解。
(2)建立直角坐标系,设,,,求得直线的方程为,利用点与关于直线对称可得:,利用四边形的面积为可得,整理得:,利用导数求得的最小值为,即可求得的最大值为,问题得解。
(1)方法一:建立如图所示的直角坐标系.
则,,
直线的方程为.设(),因为点F到AB与BD的距离相等,
所以,解得或(舍去). 所以△ABF的面积为,
所以四边形的面积为.所以风筝面的面积为.
方法二:设,则.在直角△ABD中,,
所以,解得或(舍去). 所以.
所以△ABF的面积为,所以四边形的面积为.
所以风筝面的面积为.
(2)方法一:建立如图所示的直角坐标系.
设,,,
则直线的方程为,因为点A与关于直线对称,
所以解得.
因为四边形的面积为,所以, 所以.
因为,,所以.
设,.,
令,得或(舍去).列表如下:
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
当时,取得极小值,即最小值,
所以的最大值为,所以点到AB距离的最大值为。
方法二:设,,则.因为四边形的面积为,所以,
即,所以.过点作AB的垂线,垂足为T,
则 .
因为,,所以.
(下同方法一)
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【题目】已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标;
(2)求△ABC的外接圆的方程.
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【题目】某大型超市公司计划在市新城区开设分店,为确定在新城区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息(其中表示在该区开设分店的个数,表示这个分店的年收入之和):
分店个数(个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年收入(万元) | 250 | 300 | 400 | 450 | 600 |
(Ⅰ)该公司经过初步判断,可用线性回归模型拟合与的关系,求关于的回归方程;
(Ⅱ)假设该公司每年在新城区获得的总利润(单位:万元)与,之间的关系为,请根据(Ⅰ)中的线性回归方程,估算该公司在新城区开设多少个分店时,才能使新城区每年每个分店的平均利润最大.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ,.
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【题目】对以下命题:
①随机事件的概率与频率一样,与试验重复的次数有关;
②抛掷两枚均匀硬币一次,出现一正一反的概率是;
③若一种彩票买一张中奖的概率是,则买这种彩票一千张就会中奖;
④“姚明投篮一次,求投中的概率”属于古典概型概率问题.
其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图所示,已知点是抛物线上一定点,直线的倾斜角互补,且与抛物线另交于,两个不同的点.
(1)求点到其准线的距离;
(2)求证:直线的斜率为定值.
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【题目】为响应低碳绿色出行,某市推出“新能源分时租赁汽车”,其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费得标准由以下两部分组成:(1)根据行驶里程数按1元/公里计费;(2)当租车时间不超过40分钟时,按0.12元/分钟计费;当租车时间超过40分钟时,超出的部分按0.20元/分钟计费;(3)租车时间不足1分钟,按1分钟计算.已知张先生从家里到公司的距离为15公里,每天租用该款汽车上下班各一次,且每次租车时间t20,60(单位:分钟).由于堵车,红绿灯等因素,每次路上租车时间t是一个随即变量.现统计了他50次路上租车时间,整理后得到下表:
租车时间t(分钟) | [20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
频数 | 2 | 18 | 20 | 10 |
将上述租车时间的频率视为概率.
(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式;
(2)公司规定,员工上下班可以免费乘坐公司接送车,若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析,张先生上下班应该选择公司接送车,还是租用该款新能源汽车?
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【题目】为了了解居民消费情况,某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额,根据所得数据绘制了样本频率分布直方图,如图所示,每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元,其中第六组第七组第八组尚未绘制完成,但是已知这三组的频率依次成等差数列,且第六组户数比第七组多500户,
(1)求第六组第七组第八组的户数,并补画图中所缺三组的直方图;
(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭,定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B类家庭,定义月消费6千元以上的小家庭为C类家庭,现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会,间A,B,C各层抽取的户数分别是多少?
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