精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=cos(
π
3
+x)cos(
π
3
-x),g(x)=
1
2
sin2x-
1
4

(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的单调递增区间;
(3)当x∈[0,
π
2
]
时,求函数h(x)的最大值与最小值.
分析:(1)先利用两角和差的余弦公式和二倍角公式,将函数f(x)化为y=Acos(ωx+φ)型函数,再利用周期计算公式得函数的最小正周期;
(2)先利用两角和的余弦公式将函数h(x)化为y=Acos(ωx+φ)型函数,再将内层函数看作整体放到余弦曲线的增区间上,即可解得函数的单调增区间;
(3)先求内层函数的值域,再利用余弦函数的图象和性质求整个函数的值域,从而得其最值
解答:解:(1)f(x)=cos(
π
3
+x)cos(
π
3
-x)=(
1
2
cosx-
3
2
sinx)(
1
2
cosx+
3
2
sinx)

=
1
4
cos2x-
3
4
sin2x=
1+cos2x
8
-
3-3cos2x
8
=
1
2
cos2x-
1
4

所以周期T=
2

(2)h(x)=f(x)-g(x)=
1
2
cos2x-
1
2
sin2x=
2
2
cos(2x+
π
4
)

由2kπ-π≤2x+
π
4
≤2kπ,得kπ-
8
≤x≤kπ-
π
8
,k∈Z

∴函数h(x)=f(x)-g(x)的单调递增区间为[kπ-
8
,kπ-
π
8
](k∈Z)

(3)由(2)知h(x)=
2
2
cos(2x+
π
4
)

x∈[0,
π
2
]
时,
π
4
≤2x+
π
4
4

∴当2x+
π
4
=
π
4
,即x=0时,h(x)max=
1
2

2x+
π
4
=π,即x=
8
时,h(x)min=-
2
2

∴函数h(x)的最大值与最小值分别为
1
2
,-
2
2
点评:本题主要考查了三角变换公式的运用,y=Acos(ωx+φ)型函数的图象和性质,整体代换的思想方法
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1

(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;
(2)设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c,且c=
3
,f(C)=0,若向量
m
=(1, sinA)
与向量
n
=(2,sinB)
共线,求a,b.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•松江区二模)已知函数f(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,设F(x)=x2•f(x),则F(x)是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
(
1
2
)x-1,x≤0
ln(x+1),x>0
,若|f(x)|≥ax,则实数a的取值范围为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
(c-1)2x,(x≥1)
(4-c)x+3,(x<1)
的单调递增区间为(-∞,+∞),则实数c的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x2-ax+5,x<1
1+
1
x
,x≥1
在定义域R上单调,则实数a的取值范围为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案