Question

已知，，
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；
（3）求证：．

Answer 1

（1）． （2）的最大值为．
（3）证明（法一）：先得到时，，即．
令，得，   
化简得，
．
（法二）数学归纳法：

试题分析：（1）由得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．   
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是．                     5分
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．
因此，的最大值为．                              9分
（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，，
即．                            10分
令，得，   
化简得，                  13分
．          14分
（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，
根据（1）的推导有，时，，即．
令，得，即． 因此，时不等式成立．        10分
（另解：，，，即．）
假设当时不等式成立，即，
则当时,
，
要证时命题成立，即证，
即证． 在不等式中，令，得           
．  时命题也成立．     13分
根据数学归纳法，可得不等式对一切成立．   14分
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题（II）解法较多，涉及复杂式子变形，学生往往失去耐心而失分。