【题目】设函数.
(1)讨论的单调性和极值;
(2)证明:当时,若
存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
【答案】(1)①当时,
在
上单调递增,无极值,②当
时
的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
在
处取得极小值
;(2)证明见解析.
【解析】
试题(1)先求,然后讨论当
时,
,
在
上单调递增,无极值;②当
,由
,解得
,
得增区间,
得减区间,进而求得极值;(2)
存在零点只需最小值
,从而
,讨论当
时和当
时两种情况,根据单调性及零点定理可分别证明只有一个零点.
试题解析:(1)的定义域为
,
,
①当时,
,
在
上单调递增,无极值,
②当,由
,解得
,
与
在区间
上的情况如下:
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
所以在
处取得极小值
.
(2)由(1)知,在区间
上的最小值为
.
因为存在零点,所以
,从而
.
当时,
在区间
上单调递减,且
,
所以是
在区间
上的唯一零点.
当时,
在区间
上单调递减,且
,
,
所以在区间
上仅有一个零点.
综上可知,当时,若
存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
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【题目】已知函数,
.
(1)若,判断函数
的奇偶性,并加以证明;
(2)若函数在
上是增函数,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数使得关于
的方程
有三个不相等的实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
(2)点P在直线l:2x-4y+3=0上,过点P作圆C的切线,切点记为M,求使|PM|最小的点P的坐标.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义在[0,2]上的增函数,且图像是连续不断的曲线,若f(0)=M,f(2)=N(M>0,N>0),那么下列四个命题中是真命题的有( )
A.必存在x∈[0,2],使得f(x)B.必存在x∈[0,2],使得f(x)
C.必存在x∈[0,2],使得f(x)D.必存在x∈[0,2],使得f(x)
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【题目】如图,在三棱锥中,
平面ABC,点D,E,F分别为PC,AB,AC的中点.
(Ⅰ)求证:平面DEF;
(Ⅱ)求证:.
阅读下面给出的解答过程及思路分析.
解答:(Ⅰ)证明:在中,因为E,F分别为AB,AC的中点,所以①.
因为平面DEF,
平面DEF,所以
平面DEF.
(Ⅱ)证明:因为平面ABC,
平面ABC,所以②.
因为D,F分别为PC,AC的中点,所以.所以
.
思路第(Ⅰ)问是先证③,再证“线面平行”;
第(Ⅱ)问是先证④,再证⑤,最后证“线线垂直”.
以上证明过程及思路分析中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了三个选项,其中只有一个正确,请选出你认为正确的选项,并填写在答题卡的指定位置.
空格 | 选项 | ||
① | A. | B. | C. |
② | A. | B. | C. |
③ | A.线线垂直 | B.线面垂直 | C.线线平行 |
④ | A.线线垂直 | B.线面垂直 | C.线线平行 |
⑤ | A.线面平行 | B.线线平行 | C.线面垂直 |
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【题目】设p:实数x满足x2-5ax+4a2<0(其中a>0),q:实数x满足2<x≤5.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若q是
p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个,求这两个国家包括A1,但不包括B1的概率.
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【题目】设分别是正方体
的棱
上两点,且
,给出下列四个命题:①三棱锥
的体积为定值;②异面直线
与
所成的角为
;③
平面
;④直线
与平面
所成的角为
.其中正确的命题为( )
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①④
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【题目】空中有一气球,在它的正西方A点测得它的仰角为45°,同时在它南偏东60°的B点,测得它的仰角为30°,已知A、B两点间的距离为107米,这两个观测点均离地1米,则测量时气球离地的距离是_____米.
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