Question

【题目】设函数.

（1）讨论的单调性和极值；

（2）证明：当时，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

Answer 1

【答案】（1）①当时，在上单调递增，无极值，②当时的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）先求，然后讨论当时，，在上单调递增，无极值；②当，由，解得，得增区间，得减区间，进而求得极值；（2）存在零点只需最小值，从而，讨论当时和当时两种情况，根据单调性及零点定理可分别证明只有一个零点.

试题解析：（1）的定义域为，

，

①当时，，在上单调递增，无极值，

②当，由，解得，

与在区间上的情况如下：

所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；

所以在处取得极小值.

（2）由（1）知，在区间上的最小值为.

因为存在零点，所以，从而.

当时，在区间上单调递减，且，

所以是在区间上的唯一零点.

当时，在区间上单调递减，且，，

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知，当时，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.