Question

【题目】已知函数，则（ⅰ）____________．

（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形．

其中，所有真命题的序号是____________．

Answer 1

【答案】 1 ①③

【解析】（ⅰ）由题可知，所以．

（ⅱ）①若为有理数，则也为有理数，∴，

若为无理数，则也为无理数，∴，

综上有，∴函数为偶数，故①正确．

②根据可知：假设存在等腰直角三角形，则斜边知能在轴上或在直线上，且斜边上的高始终是，不妨假设在轴，则，故点， 的坐标不可能是无理数，故不存在．另外，当在上， 在轴时，由于，则的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，故②错误．

③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且对角线互相垂直，所以可以做出点为顶点的四边形为菱形，故③正确．

综上，所有真命题的序号是①③．