[题目]已知数列. . . 满足.且当时. .令．(Ⅰ)写出的所有可能的值．(Ⅱ)求的最大值．(Ⅲ)是否存在数列.使得?若存在.求出数列,若不存在.说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知数列，，，满足，且当时，，令．

（Ⅰ）写出的所有可能的值．

（Ⅱ）求的最大值．

（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．

【答案】（1），，，， ;（2）;（3）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)由题设可知当i=5时，可得满足条件的数列的所有可能情况;
(Ⅱ)确定当，，的前项取，后项取时最大,此时.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以知道,如果，，的前项中恰有项，，，取，，，的后项中恰有项，，取,则,利用条件,分n是奇数与偶数,即可得到结论.

试题解析：（）有题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

①，，，，，此时；

②，，，，，此时；

③，，，，，此时；

④，，，，，此时；

⑤，，，，，此时；

⑥，，，，，此时．

∴的所有可能的值为，，，，．

（）由，可设，则或．

∵，∴

．

∵，

∴，且为奇数，，是由个和个构成数列．

∴

．

则当，，的前项取，后项取时最大，

此时．

证明如下：

假设，的前项中恰有项，，取，则，，的后项中恰有项，取，其中，，，，，．

∴

．

∴的最大值为．

（）由（）可知，如果，，的前项中恰有项，，，取，，，的后项中恰有项，，取，则，若，

则．

∵是奇数，∴是奇数，而是偶数．

∴不存在数列，使得．

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