Question

（2013•宜宾一模）已知函数f（x）=sin（

π

2

-x）cosx-sinx•cos（π+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A为锐角，且f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC边的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）解析式利用诱导公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（A）=1，以及第一问化简得到f（x）解析式，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由BC，sinB及sinA的值，利用正弦定理即可求出AC的长．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1

2

（cos2x+sin2x+1）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵f（A）=

2

2

sin（2A+

π

4

）+

1

2

=1，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，
∵A为锐角，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

5π

4

，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，即A=

π

4

，
∵BC=2，B=

π

3

，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：AC=

2sin π 3

sin π 4

=

6

．

点评：此题考查了正弦定理，三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．