Question

【题目】已知圆C过点M（0，﹣2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

则 解得D=﹣6，E=4，F=4

∴圆C方程为x2+y2﹣6x+4y+4=0

（2）解：设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），

则由 得2x2+2（b﹣1）x+b2+4b+4=0（*）

∴

∴y1y2=（x1+b）（x2+b）= ，

∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，

∴

得x1x2+y1y2=0，

∴ ，

即b2+4b+4+b（1﹣b）+b2=0，b2+5b+4=0，∴b=﹣1或b=﹣4

容易验证b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．

故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x﹣1或y=x﹣4．

【解析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．（2）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x1x2 ， y1y2 ， 利用垂直关系得到 ，求得b=﹣1或b=﹣4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．