Question

6．已知圆O：x²+y²=1，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的两点A，B
（1）设b=f（k），求f（k）的解析式；
（2）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由点到直线的距离公式求得b²=k²+1，将直线方程代入椭圆方程由△＞0，求得k的取值范围，即可求得f（k）的表达式，
（2）由（1）可知，利用韦达定理及向量的数量积的坐标运算，即可求得k和b的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）由y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，则$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即b²=k²+1，
由b＞0，∴b=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
由△=16k²b²-4（2k²+1）（2b²-2）=8k²＞0，则k≠0，
∴f（k）=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，k≠0．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）可知：x₁+x₂=-$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=k²×$\frac{2{b}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$+kb（-$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}$）+b²=$\frac{{b}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，

则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{b}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$+$\frac{{b}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{3{b}^{2}-2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，则$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}$，则k²=1，b²=2，
由b＞0，则b=$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程y=x+$\sqrt{2}$或y=-x+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．