Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值是（　　）

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}=\sqrt{2}$即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值．

解答 解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，1），设F（x，2）；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}=（\sqrt{2}，0）•（x，2）=\sqrt{2}x=\sqrt{2}$；
∴x=1；
∴F（1，2），$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{2}，1），\overrightarrow{BF}=（1-\sqrt{2}，2）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=\sqrt{2}-2+2=\sqrt{2}$．
故选C．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．