Question

8．已知f（x）=lnx-ax（ax+1），a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在（0，1]内至少有1个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，得到函数的零点的个数，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）依题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且$f'（x）=\frac{1}{x}-2{a^2}x-a=\frac{{2{a^2}x+ax-1}}{-x}=\frac{（2ax-1）（ax+1）}{-x}$，…（2分）
当a=0时，f（x）=lnx，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（3分）
当a＞0时，由f'（x）＞0得$0＜x＜\frac{1}{2a}$，由f'（x）＜0得$x＞\frac{1}{2a}$，
函数f（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递减；…（4分）
当a＜0时，由f'（x）＞0得$0＜x＜-\frac{1}{a}$，由f'（x）＜0得$x＞-\frac{1}{a}$，
函数f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减．…（5分）
（2）当a=0时，函数f（x）在（0，1]内有1个零点x₀=1；…（6分）
当a＞0时，由（1）知函数f（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递减；
①若$\frac{1}{2a}≥1$，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，1]上单调递增，
由于当x→0时，f（x）→-∞，且f（1）=-a²-a＜0，知函数f（x）在（0，1]内无零点；…（7分）
②若$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，f（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上单调递增，在$（\frac{1}{2a}，1]$上单调递减，
要使函数f（x）在（0，1]内至少有1个零点，只需满足$f（\frac{1}{2a}）≥0$，即$\frac{1}{2}＜a≤\frac{1}{2}{e^{\frac{4}{3}}}$；…（9分）
当a＜0时，由（1）知函数f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减；
   ③若$-\frac{1}{a}≥1$，即-1≤a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递增，由于当x→0时，f（x）→-∞，且f（1）=-a²-a＞0，
知函数f（x）在（0，]内有1个零点；…（10分）
④若$0＜-\frac{1}{a}＜1$，即a＜-1时，函数f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{1}{a}，1]$上单调递减；
由于当x→0时，f（x）→-∞，且当a＜-1时，$f（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）＜0$，
知函数f（x）在（0，1]内无零点；…（11分）
综上可得：a的取值范围是$[-1，0]∪（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}{e^{\frac{4}{3}}}]$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．