Question

1．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一个短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（m，n）处的切线方程为$\frac{mx}{{a}^{2}}$+$\frac{ny}{{b}^{2}}$=1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点P为C₁在第一象限中的任意一点，过P作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点，求△OAB面积的最小值；
（ii）如图（2），已知圆C₂：x²+y²=1的切线与椭圆C₁交于M、N两点，又椭圆C₁在M、N两点处的切线l₁、l₂相交于点T，若$E（-2\sqrt{3}，0），F（2\sqrt{3}，0）$，求证：|TE|+|TF|为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和基本量a，b，c的关系，解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，进而得到椭圆方程；
（2）（i）设P（2cosα，$\sqrt{2}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），求得切线的方程，分别令x=0，y=0，可得y轴、x轴上的截距，再由三角形的面积公式，结合二倍角公式和正弦函数的最值，可得最小值；
（ii）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求得M，N处椭圆的切线方程，设T（m，n），代入切线方程，运用两点确定一条直线，可得切点弦方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，可得T的轨迹方程，即为椭圆，再由椭圆的定义，即可得证．

解答 解：（1）椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
一个短轴端点到焦点的距离为2．
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
则椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）（i）设P（2cosα，$\sqrt{2}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
则切线l的方程为$\frac{2cosαx}{4}$+$\frac{\sqrt{2}sinαx}{2}$=1，
即为xcosα+$\sqrt{2}$ysinα-2=0，
由x=0，可得y=$\frac{2}{\sqrt{2}sinα}$；y=0，可得x=$\frac{2}{cosα}$．
即有△OAB面积为S=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{\sqrt{2}sinα}$•$\frac{2}{cosα}$=$\frac{4}{\sqrt{2}sin2α}$≥$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
当2α=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$时，S取得最小值2$\sqrt{2}$；
（ii）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得M，N点处的切线方程为$\frac{{x}_{1}x}{4}$+$\frac{{y}_{1}y}{2}$=1，
$\frac{{x}_{2}x}{4}$+$\frac{{y}_{2}y}{2}$=1，
设T（m，n），可得$\frac{m{x}_{1}}{4}$+$\frac{n{y}_{1}}{2}$=1，$\frac{m{x}_{2}}{4}$+$\frac{n{y}_{2}}{2}$=1，
由两点确定一条直线，可得切点弦MN的方程为$\frac{mx}{4}$+$\frac{ny}{2}$=1，
即为mx+2ny-4=0．
由MN与圆O相切，可得$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}}$=1，
化简可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
即为T的轨迹方程，显然为焦点在x轴上的椭圆．
由$E（-2\sqrt{3}，0），F（2\sqrt{3}，0）$，即为椭圆的两焦点，
由椭圆的定义可得|TE|+|TF|为定值，且为长轴长2×4=8．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查椭圆的切线的方程和应用，同时考查切点弦方程的求法，直线和圆相切的条件：d=r，考查轨迹方程的求法和椭圆的定义的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．