Question

14．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意当a＞0时，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性与导数的关系，分类讨论，求得f（x）的最小值，求得a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+2x，求导，令当a=0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞），
当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$（x＞0），（2分）
令f′（x）=0，得f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$=0，
∴x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{a}$．（3分）
当0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
则f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；                                                            （4分）
当1＜$\frac{1}{a}$＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（$\frac{1}{a}$）＜f（1）=-2，不合题意；     （5分）
当$\frac{1}{a}$≥e时，f（x）在[1，e）上单调递减，
f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意，（6分）
综上：a≥1．
（2）设g（x）=f（x）+2x，即g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，而g′（x）=2ax-a+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-ax+1}{x}$，（8分）
当a=0时，g′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；                 （9分）
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=$\frac{1}{4}$＞0，
只需△=a²-8a≤0，（11分）
即0＜a≤8，
∴0≤a≤8，
a的取值范围[0，8]．（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性的关系，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．