Question

13．已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a
（1）求y=f′（x）的值域；
（2）设m为方程f（x）=x的根，求证：当x＞m时，f（x）＜x；
（3）若方程f（x）=g（x）有4个不同的根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，讨论x=0，x＞0，x＜0，结合基本不等式，即可得到值域；
（2）由题意可得f（m）=m，对f（x）-x求导，判断单调性，即可得证；
（3）构建新函数h（x）=f（x）-g（x），求导函数，确定函数的单调性，可得方程f（x）=g（x）4个根的a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（x²+1）的导数为y=f′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
当x=0时，y=0；当x＞0时，y=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，即有0＜y≤1；
当x＜0时，y=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≥-$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=-1，即有-1≤y＜0．
则所求值域为[-1，1]；
（2）证明：f（x）-x的导数为f′（x）-1=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$-1=$\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}+1}$≤0，
即有函数y=f（x）-x递减，
由题意可得f（m）=m，
即为x＞m有f（x）-x＜f（m）-m=0，
即有f（x）＜x；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-$\frac{1}{{x}^{2}-1}$-a，
则h′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$=2x[$\frac{1}{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{（{x}^{2}-1）^{2}}$]，
当x∈[0，1]∪（1，+∞）时，h′（x）≥0
当x∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，h′（x）＜0
因此，h（x）在（-∞，-1）、（-1，0）时，h（x）单调递减，
在（0，1）、（1，+∞）时，h（x）单调递增．
又h（x）为偶函数，当x∈[-1，1]时，h（x）极小值为h（0）=1-a，
当x→-1^-时，h（x）→-∞，当x→-1⁺时，h（x）→+∞
当x→-∞时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞
故当1-a＜0，即a＞1时，原方程有4个根．

点评 本题考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．