Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$=a_n+1-1 （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=4S_n+1（n∈N^*），得a_n=4S_n-1+1，两式相减，得a_n+1=5a_n，（n≥2），由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…+$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$=a_n+1-1=5ⁿ-1，（n∈N^*），得$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{2n-3}$=a_n-1=5^n-1-1，（n≥2），两式相减，得b_n=（8n-4）•5^n-1，n∈N^*，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=4S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=4S_n-1+1，（n≥2），
两式相减，得a_n+1-a_n=4a_n，即a_n+1=5a_n，（n≥2）．
又a₂=4a₁+1=5，
数列{a_n}是以a₁=1为首项，5为公比的等比数列，
∴a_n=5^n-1．
（2）∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…+$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$=a_n+1-1=5ⁿ-1，（n∈N^*），
∴$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{3}$+$\frac{{b}_{3}}{5}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{2n-3}$=a_n-1=5^n-1-1，（n≥2），
两式相减，得：$\frac{{b}_{n}}{2n-1}$=4•5^n-1．n≥2，又b₁=a₂-1=5-1=4，
∴b_n=（8n-4）•5^n-1，n∈N^*，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=4•5⁰+12•5+20•5²+28•5³+…+（8n-4）•5^n-1，①
5T_n=4•5+12•5²+20•5³+28•5⁴+…+（8n-4）•5ⁿ，②
①-②，得：-4T_n=4+8×（5+5²+5³+…+5^n-1）-（8n-4）•5ⁿ
=4+8×$\frac{5（1-{5}^{n-1}）}{1-5}$-（8n-4）•5ⁿ
=-6-（8n-6）•5ⁿ，
∴T_n=$\frac{3}{2}+\frac{4n-3}{2}×{5}^{n}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用．