Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是射线上（非端点）任意一点，由点P向椭圆C引两条切线PQ、PT（Q、T为切点），求证：直线QT的斜率为常数．

Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，
把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点坐标代入解得，
故所求方程为.+y²=1．
（2）设点Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），设以Q为切点的椭圆的切线方程为y-y₁=k（x-x₁），
联立化简为关于（x-x₁）的一元二次方程，
得（1+4k²）（x-x₁）²+2（x₁+4ky₁）（x-x₁）+x₁²+4y₁²-4=0，
①若y₁≠0，因为直线与椭圆相切，所以△=4（x₁+4ky₁）²-4×（1+4k²）×0=0，k=-
所以切线方程为y-y₁=-（x-x₁）．即直线的方程为x₁x+4y₁y-4=0．
又P（t，t）（t＞）在直线PQ上，所以tx₁+4ty₁-4=0
即点Q（x₁，y₁）在直线tx+4ty-4=0上．同理，点T（x₂，y₂）也在直线tx+4ty-4=0上，
所以直线QT的方程为tx+4ty-4=0，
所以k_QT=-（常数）．
②若y₁=0，容易求得T（-，），Q（2，0）所以k_QT=-（常数）
综上得，直线QT的斜率为常数-．
分析：（1）先设出椭圆方程，再把A（-2，0）、B（2，0）、C（1，）三点的坐标代入，即可求出椭圆C的方程；
（2）先设出过点Q切线方程为y-y₁=k（x-x₁），联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆相切，求出k=-进而求出切线方程，再利用P（t，t）（t＞）在直线PQ上，找到点Q（x₁，y₁）所在直线方程，同样的方法，找到点T（x₂，y₂）也在直线tx+4ty-4=0上，就可求出直线QT的斜率为常数的值．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系．在求椭圆的标准方程时，如果不知道焦点所在位置，一般设方程为mx²+ny²=1，再利用条件求出变量即可．