Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{Sn+λ•n+

λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
（Ⅲ）求证：

1

6

≤

n

k=1

2-k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}的前n项S_n与a_n的关系通过相减的思想得到数列相邻项之间的关系式是解决本题的关键，证明出该数列是特殊数列，进而确定出其通项公式；
（Ⅱ）解法一：确定出数列{a_n}的前n项和为S_n的表达式是解决本题的关键，数列为等差数列首先保证其前3项满足等差数列的关系，得出关于λ的方程，从而确定出λ的值；
解法二：先确定出数列{a_n}的前n项和为S_n的表达式，利用数列为等差数列的通项公式的特征寻找关于λ的方程，通过求解方程确定出λ的值；
（Ⅲ）对该和式的通项进行转化是解决本题的关键，用到了裂项求和的思想，求出该和式，利用函数的单调性完成该不等式的证明．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：2a_n+1+S_n-2=0．①n≥2时，2a_n+S_n-1-2=0．②
①─②得2an+1-2an+an=0?

an+1

an

=

1

2

(n≥2)，
∵a1=1， 2a2+a1=2?a2=

1

2

．
∴{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，∴an=(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）解法一：∵Sn=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
若{Sn+λ•n+

λ

2n

}为等差数列，
则S1+λ+

λ

2

，S2+2λ+

λ

22

， S3+3λ+

λ

23

成等差数列，
2(S2+

9λ

4

)=S1+

3λ

2

+S3+

25λ

8

?2(

3

2

+

9λ

4

)=1+

3λ

2

+

7

4

+

25λ

8

，
得λ=2．
又λ=2时，Sn+2n+

2

2n

=2n+2，显然{2n+2}成等差数列，
故存在实数λ=2，使得数列{Sn+λn+

λ

2n

}成等差数列．
解法二：∵Sn=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
∴Sn+λn+

λ

2n

=2-

1

2n-1

+λn+

λ

2n

=2+λn+(λ-2)

1

2n

．
欲使{Sn+λ•n+

λ

2n

}成等差数列，只须λ-2=0即λ=2便可．
故存在实数λ=2，使得数列{Sn+λn+

λ

2n

}成等差数列．
（Ⅲ）证明：∵

1

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

( 1 2k-1 +1)( 1 2k +1)

=2k(

1

1 2k +1

-

1

1 2k-1 +1

)
∴

n

k=1

2-k

(ak+1)(akt+1+1)

=

n

k=1

(

1

1 2k +1

-

1

1 2k-1 +1

)
=(

1

1 2 +1

-

1

1+1

)+(

1

1 22 +1

-

1

1 2 +1

)+…+(

1

1 2t +1

-

1

1 2k-1 +1

)
=-

1

1+1

+

1

1 2k +1

=

2k

2k+1

-

1

2

又函数y=

2x

2x+1

=

1

1 2x +1

在x∈[1，+∞）上为增函数，
∴

21

21+1

≤

2k

2k+1

＜1，
∴

2

3

-

1

2

≤

2k

2k+1

-

1

2

＜1-

1

2

，

1

6

≤

n

k=1

2-k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

2

．

点评：本题属于数列与不等式的综合问题，考查学生的转化与化归的思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，要用好数列的前n项 S_n与a_n的关系，等差数列、等比数列有关公式，裂项求和的思想和方法，数列的函数意识．