Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP 为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，AB=BC=2，AD=3，PA=2，则P（0，0，2），
B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），
从而 =（2，0，﹣2）， =（2，2，﹣2）， =（0，3，﹣2），
设平面PCD的法向量为 =（a，b，c）， 即 ，
不妨取c=3，则b=2，a=1，
所以平面PCD的一个法向量为 =（1，2，3），
所以PB与平面PCD所成角的正弦值
sinθ=|cos＜ ， ＞|=| |=|- |= ，
故选：B．

【考点精析】关于本题考查的空间角的异面直线所成的角，需要了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．