Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1（n≥2，n∈N^*）．若a_n=1007，则n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1（n≥2），得

1

n

a_n+a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1+

1

n

an（n≥2）．整理可得

n+1

n

an=a_n+1（n≥2），于是

an+1

an

=

n+1

n

（n≥2），利用累乘法即可求得a_n，再由a_n=1007可求答案，注意n的范围．

解答： 解：由a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1（n≥2），
得

1

n

a_n+a_n=a₁+

1

2

a₂+

1

3

a₃+…+

1

n-1

a_n-1+

1

n

an（n≥2）．
∴

n+1

n

an=a_n+1（n≥2），则

an+1

an

=

n+1

n

（n≥2），
又a₁=1，∴a₂=a₁=1，
∴an=a2•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=1×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

=

n

2

（n≥2），
∵a_n=1007，即

n

2

=1007，∴n=2014，
故答案为：2014．

点评：本题考查由数列递推式求数列的通项，累乘法是求数列通项公式的常用方法，要准确把握其解决方法及使用条件．