Question

19．在数列{a_n}及{b_n}中，a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，a₁=1，b₁=1．设${c_n}={2^n}（{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}）$，则数列{c_n}的前n项和为2ⁿ⁺²-4．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，a₁=1，b₁=1．可得a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}$-$（{a}_{n}^{2}+{b}_{n}^{2}）$=2a_nb_n，即a_nb_n=2^n-1．分别利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$，a₁=1，b₁=1．
∴a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．
∴a_n+b_n=2ⁿ．
另一方面：a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}$-$（{a}_{n}^{2}+{b}_{n}^{2}）$=2a_nb_n，
∴a_nb_n=2^n-1．
∴${c_n}={2^n}（{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}）$=${2}^{n}•\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}{b}_{n}}$=2ⁿ•$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2ⁿ⁺¹，
则数列{c_n}的前n项和=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺²-4．
故答案为：2ⁿ⁺²-4．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．