Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求f（）的值；
（3）比较f（）的值与3的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列的公差为d，因为f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，即数列的前n项和为n²，则n有a₁+d=n²，又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即×d=n，d=2，联立可得答案；
（2）根据题意，f（）=（）+3（）²+5（）³+…+（2n-1）（）ⁿ，将f（）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求解即可；
（3）由（2）的结论，f（）=-（2n+3）（）ⁿ，易得f（）＜，进而可得答案．
解答：解：（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，则na₁+d=n²，即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即×d=n，d=2．
解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（）=（）+3（）²+5（）³+…+（2n-1）（）ⁿ，①
两边都乘以，可得f（）=（）²+3（）³+5（）⁴+…+（2n-1）（）ⁿ⁺¹，②
①-②，得 f（ ）=+2（ ）²+2（ ）³+…+2（ ）ⁿ-（2n-1）（ ）ⁿ⁺¹，
即f（ ）=++（ ）²+…+（ ）^n-1-（2n-1）（ ）ⁿ⁺¹．
∴f（ ）=1+1+++…+-（2n-1）=1+-（2n-1）=1+2--（2n-1）=3-（2n+3）（）ⁿ；
则f（）=3-（2n+3）（）ⁿ；
（3）由（2）的结论，f（）=3-（2n+3）（）ⁿ，
又由（2n+3）（）ⁿ＞0，
易得3-（2n+3）（）ⁿ＜3，
则f（）＜3．
点评：本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；要求学生熟练掌握等差数列的性质与数列求和的方法．