Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c，g（x）=x²+2x+2，若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值
（1）求实数a，b的值；
（2）若存在x₁∈[-2，6]，x₂[-2，6]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，可判断f'（-1）=0，f'（3）=0，就可求出a，b的值．
（2）若存在x₁∈[-2，6]，x₂[-2，6]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，则当x∈[-2，6]时，f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值，再利用导数分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，让再f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b∵f（x）在及x=3处取得极值
∴-1和3是方程3x²-2ax+b的两根，

-1+3= 2a 3 -1×3= b 3

⇒

a=3 b=-9

（2）依题意：x∈[-2，6]时，f（x）_max≥g（x）_min，g（x）_min=1．f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．当 x变化时，f′（x）、f（x）变化情况如表

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+		-	0	+
f（x）	c-2	↗	极大值c+5	↘	极小值c-27	↗	c+54

∴x∈[-2，6]时，f（x）_max=c+54≥1，∴c≥-53

点评：本题主要考察了利用导数求函数的极值和最值，注意解题格式．