Question

2．等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，数列{b_n}满足b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n+$\frac{1}{b_n}$（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式即可求得公式比q，2a₁+3a₁q=1，则a₁=$\frac{1}{3}$．根据等比数列的通项公式即可求得{b_n}的通项公式；
（2）$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），累加即可求得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和，利用等比数列前n项和公式求得数列{a_n}前n项和，相加即可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²，则q²=$\frac{1}{9}$，由条件可知各项均为正数，故q=$\frac{1}{3}$．
由2a₁+3a₂=1，得2a₁+3a₁q=1，
∴a₁=$\frac{1}{3}$．故数列{a_n}的通项式为a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴数列{a_n}的通项式为a_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）故$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）则$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=-$\frac{2n}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为-$\frac{2n}{n+1}$．
等比数列{a_n}前n项和T_n，T_n=$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$，
数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$-$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．