Question

11．（1）用适当方法证明：如果a＞0，b＞0那么$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$
（2）若下列三个方程：x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1））（用综合法），作差证明即可；
（2）（用反证法）研究的三个方程至少有一个有实根，此类题求解时通常转化为求其对立面，研究三个方程都没有实根时实数a的取值集合，其补集即是所求的实数a的取值范围．

解答 证明（1）：（用综合法）$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}-（\sqrt{a}+\sqrt{b}）=\frac{a}{{\sqrt{b}}}-\sqrt{b}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}-\sqrt{a}=\frac{a-b}{{\sqrt{b}}}+\frac{b-a}{{\sqrt{a}}}$，
=$（a-b）（\frac{1}{{\sqrt{b}}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}）=\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}}{{\sqrt{ab}}}$．
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}}{{\sqrt{ab}}}≥0$，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）：假设没有一个方程有实数根，则：
16a²-4（3-4a）＜0，①
（a-1）²-4a²＜0，②
4a²+8a＜0，③，
由①②③解得：-$\frac{3}{2}$＜a＜-1，
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$}．

点评 本题考查了作差法比较大小以及反证法，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题．